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裂项相消基本公式(裂项相消法的几个公式)

导读 裂项法  裂项法求和   这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之...

裂项法  裂项法求和   这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:   (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)   (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]  (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]  (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)  (5) n·n!=(n+1)!-n!  [例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.   解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)   则 sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)   = 1-1/(n+1)  = n/(n+1)   [例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.   解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)   则 sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)   = (n-1)n(n+1)/3  小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

   注意: 余下的项具有如下的特点   1余下的项前后的位置前后是对称的。

   2余下的项前后的正负性是相反的。

   易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)  附:数列求和的常用方法:  公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

(关键是找数列的通项结构)   分组法求数列的和:如an=2n+3n   2、错位相减法求和:如an=n·2^n  3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)   4、倒序相加法求和:如an= n  5、求数列的最大、最小项的方法:   ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3   ② (an>0) 如an=   ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)  6、在等差数列 中,有关sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:   (1)当 a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得sm取最大值.  (2)当 a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得sm取最小值.   在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)..........通项:s=∑(等差数列an)*(等比数列bn)(公比q)*s=公比*∑(等差数列an)*(等比数列bn)=∑(等差数列an)*(公比*等比数列qbn)=∑(等差数列an)*(等比数列bn+1)相减:(公比q-1)*s=-a1*b1+∑(公差d)*(等比数列bn)[从第二项到第n项]+an*bn+1 原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)。

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