裂项法　　裂项法求和 　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)　　（5） n·n!=(n+1)!-n!　　[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项） 　　则 sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和） 　　＝ 1-1/(n+1)　　＝ n/(n+1)　　 [例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和. 　　解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项） 　　则 sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和） 　　＝ (n-1)n(n+1)/3　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

 　　注意： 余下的项具有如下的特点 　　1余下的项前后的位置前后是对称的。

 　　2余下的项前后的正负性是相反的。

 　　易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）　　附：数列求和的常用方法：　　公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

(关键是找数列的通项结构) 　　分组法求数列的和：如an=2n+3n 　　2、错位相减法求和：如an=n·2^n　　3、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 　　4、倒序相加法求和：如an= n　　5、求数列的最大、最小项的方法： 　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 　　② (an>0) 如an= 　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)　　6、在等差数列 中,有关sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： 　　(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得sm取最大值.　　(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得sm取最小值. 　　在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)..........通项：s=∑（等差数列an）*（等比数列bn）（公比q）*s=公比*∑（等差数列an）*（等比数列bn）=∑（等差数列an）*（公比*等比数列qbn）=∑（等差数列an）*（等比数列bn+1）相减：（公比q-1）*s=-a1*b1+∑（公差d）*（等比数列bn）[从第二项到第n项]+an*bn+1 原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)。