叉乘，又称为向量积或外积，是数学中向量运算的一种重要形式。它主要应用于三维空间中的向量运算，结果是一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量，并且其方向遵循右手定则。

叉乘的定义与性质

如果给定向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，那么它们的叉乘 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 定义为：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

\]

这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表沿 x, y, z 轴的单位向量。

叉乘具有以下特性：

- 结果向量的方向与原始两个向量都垂直。

- 模长等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

- 不满足交换律，即 \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)。

- 与标量乘法结合：\(k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})\)。

应用领域

叉乘在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，它可以用来计算力矩和角动量；在计算机图形学中，它用于计算表面法线，这对于光照模型至关重要。

总之，叉乘是一种强大的工具，它不仅在理论上丰富了向量分析的内容，而且在实际应用中也扮演着不可或缺的角色。通过理解和掌握叉乘的概念及其应用，我们可以更深入地探索和解决涉及三维空间的问题。