角平分线定理的核心内容是：在三角形中，角平分线将对边分成的两条线段与相邻两边成比例。即，在△ABC中，若AD是∠A的平分线交BC于D，则BD/DC = AB/AC。 该定理的推导主要基于相似三角形、面积法或正弦定理，下面分别给出三种常见证明方法。
方法一：相似三角形法
过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC。又因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E（同位角），∠DAC=∠ACE（内错角），从而∠E=∠ACE，故AE=AC。由平行线分线段成比例定理，得BD/DC = BA/AE，即BD/DC = AB/AC。
方法二：面积法
作AE⊥BC于E，设△ABD和△ACD的面积分别为S₁和S₂。则S₁ = (1/2)·BD·AE，S₂ = (1/2)·DC·AE，所以S₁/S₂ = BD/DC。另一方面，过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，由角平分线性质知DF=DG。则S₁ = (1/2)·AB·DF，S₂ = (1/2)·AC·DG，所以S₁/S₂ = AB/AC。因此BD/DC = AB/AC。
方法三：正弦定理法
在△ABD中，由正弦定理得BD/sin∠BAD = AB/sin∠ADB。在△ACD中，DC/sin∠CAD = AC/sin∠ADC。因为∠BAD=∠CAD，且∠ADB+∠ADC=180°，所以sin∠ADB=sin∠ADC。两式相除即得BD/DC = AB/AC。
【常见问题】
问题1：角平分线定理的逆定理成立吗？
回答1：角平分线定理的逆定理成立，即若三角形内一点将一边分成与邻边成比例的两段，则该点与顶点连线是角平分线。可通过相似三角形或正弦定理反向证明。
问题2：角平分线定理在几何题中如何应用？
回答2：角平分线定理常用于求线段长度、比例关系，或证明角相等。例如，已知三角形两边长及角平分线分对边的比例，可求第三边长度。
问题3：外角平分线定理与角平分线定理有什么区别？
回答3：外角平分线定理描述的是三角形外角平分线分对边延长线成比例，即BD/DC = AB/AC（其中D为外角平分线与对边延长线交点），但通常需注意内外角平分线定理的符号差异（外角时取绝对值）。